2021 年碩士研究生招生考試大綱

考試科目名稱：高等代數(shù) 考試科目代碼：865

一、 考試要求

高等代數(shù)考試大綱適用于北京工業(yè)大學理學部（0701）數(shù)學、（0714）統(tǒng)計學學

科的碩士研究生招生考試?？荚噧?nèi)容主要包括多項式、行列式、矩陣、線性方程組、

二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、矩陣等。要求考生理解基本概念、掌握基

本定理、熟悉基本計算，有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

二、 考試內(nèi)容

（一）多項式理論

1.理解一元多項式的概念，多項式的因式分解、因式分解定理

2.掌握多項式的加、減、乘、除運算、多項式的整除、最大公因式、重因式判

別法、有理系數(shù)多項式、愛森斯坦因判別法

（二）行列式

1.理解 n 元排列、n 級行列式的定義

2.熟練掌握 n 級行列式定義性質(zhì)、n 級行列式（按行或列）展開、n 級行列式的

計算方法

3.熟悉代數(shù)余子式的相關結論、克來姆法則、范得蒙行列式

（三）線性方程組

1.理解 n 維向量的運算及性質(zhì)、線性相關與線性無關

2.熟練掌握高斯消元法、矩陣的秩、線性方程組有解的判別定理、線性方程組

解的結構

（四）矩陣

熟練掌握矩陣的各種運算、矩陣乘積的行列式、矩陣的秩、分塊矩陣、逆矩

陣、初等變換與初等矩陣

（五）二次型1.熟悉二次型的矩陣表示[1]

2.熟練掌握二次型的標準型、二次型的規(guī)范型、慣性定理、正定二次型

（六）線性空間

1.理解線性空間的定義及性質(zhì)、維數(shù)、線性子空間、線性空間的同構

2.熟練掌握基與坐標、基變換與坐標變換、子空間的交與和及維數(shù)公式、子空

間的直和及其等價命題

（七）線性變換

1.理解線性變換的定義與運算，了解哈密爾特—凱萊定理、若當矩陣及其性質(zhì)

2.熟練掌握線性變換的矩陣、線性變換的線性空間與基域上的 n n 方陣的線性

空間的同構、矩陣的相似、特征值與特征向量、矩陣對角化、線性變換的值域與

核、不變子空間

（八）?-矩陣

1.掌握?-矩陣及其運算、?-矩陣在初等變換下的標準型

2.會求不變因子、初等因子及利用初等因子求矩陣的若當標準形

（九）歐幾里得空間

1.理解歐幾里得空間的定義和基本性質(zhì)、標準正交基

2.熟練掌握柯西—布涅柯夫斯基不等式、施密特正交化過程、正交變換與正交

矩陣、子空間與正交補空間、對稱變換與對稱矩陣、利用正交矩陣化實對稱矩陣為

對角矩陣

三、 參考書目

《高等代數(shù)》，北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編，北京：高等教

育出版社，2010 年 3 月

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