2016年考研數(shù)學(xué)極限大綱分析
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考研的道路是漫長的，是無比艱辛的?？佳械娜舜蠖鄶?shù)是焦躁的，迷茫的，也是孤獨的。特別是身邊沒有研友陪伴的時候那種孤獨感只有自己才能體會。極限
考試對極限的考察以計算為主。下面我們梳理一下極限計算的方法。
1. 四則運算
此法可簡要概括為"若極限式中每一部分(和差式中的每一項或乘除式的每個因子)的極限存在，則和的極限等于極限的和，差的極限等于極限的差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商(分母不為零)"。
而在實際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時能否利用四則運算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運算討論：兩個函數(shù)相加，取極限，若能觀察出一項的極限存在，若另一項的極限存在，則由四則運算法則，和的極限等于極限的和，可以往下算;若另一項的極限不存在，可以證明(用反證法)整個極限不存在，也即"收斂+發(fā)散=發(fā)散"，而這種情況在真題中的極限計算題中還未出現(xiàn)過。綜上，兩個函數(shù)相加取極限，只要一項極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項的極限不存在呢?那回答整個極限不存在即可。下面討論乘的情況，兩個函數(shù)相乘取極限，若一個函數(shù)的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函數(shù)的極限算出(因為可能出現(xiàn)"0乘無窮"這種未定式);若極限值不為0，則后面的討論類似于加的情況。
2. 洛必達法則
洛必達法則知名度很高。提起極限計算的方法，有同學(xué)別的方法想不起來，唯獨對洛必達念念不忘，可謂情有獨鐘。到了這個階段，對于此法，首先要注意條件。洛必達法則有三個條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在一個范圍(若極限過程為x趨近于一點，則"局部"為該點的某去心鄰域)可導(dǎo);3)分子、分母分別求導(dǎo)后的極限存在。具體函數(shù)僅判斷第1)條一般不會出問題，因為第2)、3)條在多數(shù)情況下成立。但對抽象函數(shù)的極限問題要小心，可不可導(dǎo)，連不連續(xù)對洛必達法則的運用都有影響。此外，泰勒公式以強大著稱，但有一種情況不得不請出不那么強大的洛必達法則幫忙，誰這么大牌?原來是含有變限積分的極限。一般得借助洛必達法則削去積分號。
3. 等價無窮小替換
這種方法大家都比較熟悉。首先要記住常見的等價無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨于0時，sinx等價于x，那么x的位置換成趨近于0的函數(shù)行不行?行!這就是廣義化的思想)。再者，等價無窮小替換常在洛必達法則之前用，這樣可以簡化洛必達法則中的求導(dǎo)運算。注意，易錯點是只有整個極限式的乘除因子才能替換。
4. 泰勒公式
泰勒公式可以說是計算極限的最強大的武器。有同學(xué)戲稱"一把泰勒走天下，洛必達之類都是浮云"。確有幾分道理。該公式有兩種形式：帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式。前者用來算極限，后者用來證明。
算極限首先應(yīng)記清8個常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,
ln(1+x),(1+x)^a在0點展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函數(shù)。有一個信號會提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(二階及以上階數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù))。
5. 冪指型函數(shù)的處理
冪指型函數(shù)是指底數(shù)位置和指數(shù)位置都有自變量的函數(shù)。此類函數(shù)在考試中可能讓我們求極限或求導(dǎo)數(shù)。處理該類函數(shù)問題有萬能的一招：指數(shù)對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化。
6. 夾逼定理
首先要熟悉該定理的內(nèi)容。有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。若一個數(shù)列夾在兩外兩個數(shù)列之間(并不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨于無窮時，兩頭的數(shù)列收斂到同一個數(shù)，則中間的數(shù)列被逼迫著極限也存在且極限值為同一個數(shù)。函數(shù)形式的夾逼定理類似理解。
接著應(yīng)熟悉一個結(jié)論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結(jié)論是夾逼定理的推論?？捎闷浣忸}。
最后，一種長得非常有型的極限計算題--n項分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限于篇幅，本文在此點到為止，不詳述。
7. 單調(diào)有界定理
該定理內(nèi)容并不難：單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。此處需注意，不是嚴格的單調(diào)也可以。
該定理數(shù)一數(shù)二同學(xué)尤其要注意，因為真題在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應(yīng)用場合是遞推式數(shù)列的極限問題。一般情況下，證明數(shù)列的極限存在就可考慮該定理。
考試對極限的考察以計算為主。下面我們梳理一下極限計算的方法。
1. 四則運算
此法可簡要概括為"若極限式中每一部分(和差式中的每一項或乘除式的每個因子)的極限存在，則和的極限等于極限的和，差的極限等于極限的差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商(分母不為零)"。
而在實際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時能否利用四則運算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運算討論：兩個函數(shù)相加，取極限，若能觀察出一項的極限存在，若另一項的極限存在，則由四則運算法則，和的極限等于極限的和，可以往下算;若另一項的極限不存在，可以證明(用反證法)整個極限不存在，也即"收斂+發(fā)散=發(fā)散"，而這種情況在真題中的極限計算題中還未出現(xiàn)過。綜上，兩個函數(shù)相加取極限，只要一項極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項的極限不存在呢?那回答整個極限不存在即可。下面討論乘的情況，兩個函數(shù)相乘取極限，若一個函數(shù)的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函數(shù)的極限算出(因為可能出現(xiàn)"0乘無窮"這種未定式);若極限值不為0，則后面的討論類似于加的情況。
2. 洛必達法則
洛必達法則知名度很高。提起極限計算的方法，有同學(xué)別的方法想不起來，唯獨對洛必達念念不忘，可謂情有獨鐘。到了這個階段，對于此法，首先要注意條件。洛必達法則有三個條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在一個范圍(若極限過程為x趨近于一點，則"局部"為該點的某去心鄰域)可導(dǎo);3)分子、分母分別求導(dǎo)后的極限存在。具體函數(shù)僅判斷第1)條一般不會出問題，因為第2)、3)條在多數(shù)情況下成立。但對抽象函數(shù)的極限問題要小心，可不可導(dǎo)，連不連續(xù)對洛必達法則的運用都有影響。此外，泰勒公式以強大著稱，但有一種情況不得不請出不那么強大的洛必達法則幫忙，誰這么大牌?原來是含有變限積分的極限。一般得借助洛必達法則削去積分號。
3. 等價無窮小替換
這種方法大家都比較熟悉。首先要記住常見的等價無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨于0時，sinx等價于x，那么x的位置換成趨近于0的函數(shù)行不行?行!這就是廣義化的思想)。再者，等價無窮小替換常在洛必達法則之前用，這樣可以簡化洛必達法則中的求導(dǎo)運算。注意，易錯點是只有整個極限式的乘除因子才能替換。
4. 泰勒公式
泰勒公式可以說是計算極限的最強大的武器。有同學(xué)戲稱"一把泰勒走天下，洛必達之類都是浮云"。確有幾分道理。該公式有兩種形式：帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式。前者用來算極限，后者用來證明。
算極限首先應(yīng)記清8個常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,
ln(1+x),(1+x)^a在0點展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函數(shù)。有一個信號會提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)(二階及以上階數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù))。
5. 冪指型函數(shù)的處理
冪指型函數(shù)是指底數(shù)位置和指數(shù)位置都有自變量的函數(shù)。此類函數(shù)在考試中可能讓我們求極限或求導(dǎo)數(shù)。處理該類函數(shù)問題有萬能的一招：指數(shù)對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化。
6. 夾逼定理
首先要熟悉該定理的內(nèi)容。有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。若一個數(shù)列夾在兩外兩個數(shù)列之間(并不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨于無窮時，兩頭的數(shù)列收斂到同一個數(shù)，則中間的數(shù)列被逼迫著極限也存在且極限值為同一個數(shù)。函數(shù)形式的夾逼定理類似理解。
接著應(yīng)熟悉一個結(jié)論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結(jié)論是夾逼定理的推論?？捎闷浣忸}。
最后，一種長得非常有型的極限計算題--n項分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限于篇幅，本文在此點到為止，不詳述。
7. 單調(diào)有界定理
該定理內(nèi)容并不難：單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。此處需注意，不是嚴格的單調(diào)也可以。
該定理數(shù)一數(shù)二同學(xué)尤其要注意，因為真題在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應(yīng)用場合是遞推式數(shù)列的極限問題。一般情況下，證明數(shù)列的極限存在就可考慮該定理。