南昌航空大學(xué)2021年研究生入學(xué)考試初試大綱

    考試科目名稱(chēng)：理學(xué)數(shù)學(xué)（自命題）

    考試科目代碼：601

    考試形式：筆試

    考試時(shí)間：180分鐘

    滿(mǎn)分：150分

    參考書(shū)目：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)》、《線(xiàn)性代數(shù)》

    一、試卷結(jié)構(gòu)：

    （一）試卷內(nèi)容比例：高等數(shù)學(xué)約75%線(xiàn)性代數(shù)約25%.

    （二）試卷題型

    1.填空題15小題，每題6分，共90分（其中高數(shù)72分，線(xiàn)代18分）

    2.解析題(包括計(jì)算和證明題)6小題，共60分（其中高數(shù)40分，線(xiàn)代20分）

    二、考試大綱

    高等數(shù)學(xué)部分：

    一．函數(shù)極限連續(xù)

    函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較,極限的四則運(yùn)算,極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則:單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限；函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

    考試要求

    1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.

    2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

    3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念

    4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

    5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.

    6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則

    7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

    8.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限.

    9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

    二一元函數(shù)微分學(xué)

    考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，羅爾定理，拉格朗日中值定理，泰勒定理，柯西中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹凸性，極值，最大值和最小值，函數(shù)圖形的拐點(diǎn)，曲率

    考試要求

    1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念,理解導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

    2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分.

    3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

    4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

    5.理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理.

    6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

    7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

    8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線(xiàn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

    9.了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

    三一元函數(shù)積分學(xué)

    考試內(nèi)容:原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，反常(廣義)積分，定積分的應(yīng)用

    考試要求

    1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.

    2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

    3.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

    4.理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式.

    5.了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分.

    6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.

    四多元函數(shù)微分學(xué)和二重積分

    考試內(nèi)容：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)存在定理，多元函數(shù)極值和條件極值，多元函數(shù)極值存在的必要條件，拉格朗日乘數(shù)法；拉格朗日乘數(shù)法；二重積分的計(jì)算方法

    考試要求

    1.了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義.

    2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

    3.了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全微分，了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

    4.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并求解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

    5.了解拉格朗日乘數(shù)法，掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)).

    五常微分方程

    考試內(nèi)容:常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線(xiàn)性微分方程，可降階的高階微分方程，線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

    考試要求

    1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

    2.掌握變量可分離的微分方程及一階線(xiàn)性微分方程的解法，會(huì)解齊次微分方程

    3.會(huì)用降階法解簡(jiǎn)單的可降階微分方程.

    4.理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.

    5.掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解法.

    6.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程.

    7.會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

    線(xiàn)性代數(shù)部分

    一行列式

    考試內(nèi)容:行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行(列)展開(kāi)定理

    考試要求

    1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì).

    2.會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式.

    二矩陣

    考試內(nèi)容：矩陣的概念，矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算，矩陣的乘法方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算

    考試要求

    1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣和正交矩陣以及它們的性質(zhì).

    2.掌握矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì).

    3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件.理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣.

    4.了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.

    5.了解分塊矩陣及其運(yùn)算.

    三向量

    考試內(nèi)容:向量的概念向量的線(xiàn)性組合和線(xiàn)性表示向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量的內(nèi)積線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法

    考試要求

    1.理解n維向量、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示的概念.

    2.理解向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，掌握向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法.

    3.了解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及秩.

    4.了解向量組等價(jià)的概念，了解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的關(guān)系

    5.了解內(nèi)積的概念，掌握線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特正交化方法.

    四線(xiàn)性方程組

    考試內(nèi)容:線(xiàn)性方程組的克萊姆(Cramer)法則，齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件，線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，非齊次線(xiàn)性方程組的通解

    考試要求

    1.會(huì)用克萊姆法則.

    2.理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件.

    3.理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的概念，掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法.

    4.理解非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解的概念.

    5.會(huì)用初等行變換求解線(xiàn)性方程組.

    六矩陣的特征值和特征向量

    考試內(nèi)容:矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似矩陣的概念及性質(zhì)，矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，相似對(duì)角矩陣，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣

    考試要求

    1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量.

    2.理解矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.

    3.理解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).

    五二次型

    考試內(nèi)容:二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其矩陣的正定性

    考試要求

    1.了解二次型的概念，會(huì)用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念.

    2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會(huì)用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

    3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法

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