南京信息工程大學(xué)碩士研究生招生入學(xué)考試

    考試大綱

    科目代碼：702

    科目名稱：數(shù)學(xué)分析

    第一部分目標(biāo)與基本要求

    1．掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念，了解數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史，掌握科學(xué)的思想和方法；

    2．掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,養(yǎng)成認(rèn)真、求實(shí)、勤奮良好的教學(xué)科研精神與學(xué)風(fēng)；

    3．掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及運(yùn)算能力，養(yǎng)成反思和獨(dú)立思考的習(xí)慣，為后繼課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；

    4．培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能力，體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性與深刻性，提高數(shù)學(xué)思維能力和科學(xué)素養(yǎng)，具備一定的科學(xué)研究能力。培養(yǎng)反思及自主學(xué)習(xí)能力。

    第二部分內(nèi)容與考核目標(biāo)

    一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

    1實(shí)數(shù)集及其性質(zhì)2確界定義與確界原理3函數(shù)概念4有某些特性的函數(shù)（有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)）

    理解和掌握鄰域，有界集，上下確界函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)概念。熟練掌握上下確界，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)的應(yīng)用

    二、數(shù)列極限

    1數(shù)列極限概念2收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算）3數(shù)列極限存在的條件：包括單調(diào)有界定理與柯西（Cauchy）準(zhǔn)則

    理解和掌握數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限性質(zhì)的原理及推導(dǎo)。單調(diào)有界原理，柯西準(zhǔn)則及應(yīng)用。

    三、函數(shù)極限

    1函數(shù)極限概念2函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算）3函數(shù)極限存在的條件：包括歸結(jié)原則（Heine定理），單調(diào)有界定理與柯西準(zhǔn)則4兩個(gè)重要極限5無(wú)窮小量，無(wú)窮大量,非正常極限，階的比較，曲線的漸近線。

    熟練掌握函數(shù)極限定義證明，運(yùn)算求極限。函數(shù)極限柯西準(zhǔn)則及應(yīng)用。兩個(gè)重要極限的計(jì)算，無(wú)窮小量，無(wú)窮大量概念，無(wú)窮小量階的比較及應(yīng)用。一致連續(xù)性及應(yīng)用。

    四、函數(shù)的連續(xù)性

    1連續(xù)性概念，間斷點(diǎn)及其分類2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、保號(hào)性、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性）3實(shí)數(shù)集完備性的基本定理的應(yīng)用4初等函數(shù)的連續(xù)性

    熟練掌握連續(xù)性的定義及其證明，間斷點(diǎn)及其分類。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。區(qū)間套定理，柯西準(zhǔn)則聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理原理及證明。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的原理及證明及應(yīng)用。

    五、導(dǎo)數(shù)與微分

    1導(dǎo)數(shù)的概念2求導(dǎo)法則3微分概念4高階導(dǎo)數(shù)與高階微分5參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

    理解和掌握：導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)法則與公式。微分概念，微分的運(yùn)算法則。高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。參數(shù)方程的一階及二階導(dǎo)數(shù)。

    六、微分中值定理及其應(yīng)用

    1中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）2不定式極限3泰勒公式（及其皮亞諾余項(xiàng)與拉格朗日余項(xiàng)、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式、了解應(yīng)用于近似計(jì)算）4掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)6函數(shù)圖象的討論

    熟練掌握各種微分中值定理，泰勒公式并運(yùn)用到討論函數(shù)的性態(tài)

    七不定積分

    1原函數(shù)與不定積分概念，基本積分公式2換元積分法與分部積分法3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

    理解和掌握：不定積分的運(yùn)算法則，換元積分，分步積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)的積分。

    八、定積分

    1掌握定積分的概念及其幾何意義2掌握可積條件的應(yīng)用（包括必要條件，可積準(zhǔn)則），掌握三類可積函數(shù)3掌握定積分的性質(zhì)（線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性，積分中值定理）4掌握微積分學(xué)基本定理，定積分的分部積分法與換元法

    理解和掌握：定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數(shù)類。熟練掌握定積分的性質(zhì)原理，微積分基本定理，換元積分法，分步積分法及應(yīng)用。

    九、反常積分

    1無(wú)窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對(duì)收斂與條件收斂2無(wú)窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法3無(wú)界函數(shù)反常積分概念，無(wú)界函數(shù)反常積分比較判別法及p-函數(shù)判別法

    掌握非正常積分的定義，性質(zhì)，熟練掌握非正常積分判別準(zhǔn)則。

    十、定積分的應(yīng)用

    1掌握平面圖形的面積2掌握由截面面積求體積、旋轉(zhuǎn)體的體積3掌握曲線的弧長(zhǎng)與了解曲率4掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積

    十一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1級(jí)數(shù)收斂的概念，柯西收斂準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)2正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法（比較判別法、p-級(jí)數(shù)判別法、比式與根式判別法、積分判別法）3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

    理解和熟練掌握：級(jí)數(shù)一般判別原則，比較及根式判別方法，積分判別方法原理及使用。交錯(cuò)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂，阿貝爾判別法，阿貝爾。狄里克里判別法原理及應(yīng)用。

    十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    1函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法2函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性

    理解和熟練掌握：函數(shù)列的一致收斂性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法原理及應(yīng)用。一致收斂性函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分析性質(zhì)原理及應(yīng)用。

    十三、冪級(jí)數(shù)

    1冪函數(shù)的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的分析性質(zhì)2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

    熟練掌握：阿貝爾定理，收斂區(qū)間判別方法，冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)，泰勒級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)原理及應(yīng)用。

    十四、傅里葉級(jí)數(shù)

    1傅里葉級(jí)數(shù)的概念，三角函數(shù)系的正交性2以2L為周期的函數(shù)的展開(kāi)式，奇式與偶式展開(kāi)3收斂定理的證明

    熟練掌握：為周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，收斂定理證明。為周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

    十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1理解平面點(diǎn)集與多元函數(shù)2掌握二元函數(shù)的極限，重極限與累次極限3理解二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域（集）上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

    十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

    1掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，可微性2掌握復(fù)合函數(shù)微分法，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無(wú)關(guān)性3掌握方向?qū)?shù)與梯度4掌握泰勒公式與極值問(wèn)題

    十七、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    1理解隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)定理2掌握隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式及其性質(zhì)3掌握幾何應(yīng)用（空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線）4掌握條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

    十八、含參量積分

    1掌握含參量正常積分，連續(xù)性、可積性與可微性2掌握含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準(zhǔn)則，維爾特拉斯（Weierstrass）判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，含參量無(wú)窮積分的連續(xù)性，可積性與可微性3理解歐拉積分

    十九、曲線積分

    1掌握第一型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式2掌握第二型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式，兩類曲線積分之間的關(guān)系

    二十、重積分

    1掌握二重積分概念與性質(zhì)2掌握二重積分的計(jì)算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）3.掌握格林（Green）公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性3掌握三重積分的概念與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）4理解重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積等）

    二十一、曲面積分

    1理解第一型曲面積分的的概念與計(jì)算2掌握第二型曲面積分的概念與計(jì)算，理解兩類曲面積分之間的關(guān)系3掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式

    第三部分有關(guān)說(shuō)明與實(shí)施要求

    1.基本要求：掌握數(shù)學(xué)分析中的基本概念，理解考試范圍內(nèi)的各種微積分思想，掌握處理問(wèn)題分析的基本方法、基本原理，具有運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力。

    2.命題說(shuō)明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%；題型為解答題和證明題。

    3.參考書(shū)目:

    （1）梅加強(qiáng),數(shù)學(xué)分析,高等教育出版社,2011.

    （2）裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第二版），高等教育出版社,2006.

    （3）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（第四版），高等教育出版社,2013.

    4.其他規(guī)定：重點(diǎn)難點(diǎn)集中在一元函數(shù)微積分學(xué)部分，多元函數(shù)積分要理解其物理意義?？荚嚪绞綖殚]卷筆試，總分150分，考試時(shí)間為180分鐘。

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