2021溫州大學數(shù)學分析專業(yè)研究生考試大綱 正文

碩士研究生招生考試（初試）業(yè)務課考試大綱
  考試科目：  數(shù)學分析          科目代碼：   618         
一、 參考書目（所列參考書目僅供參考，非考試科目指定用書）：
1. 《數(shù)學分析》（第四版），華東師大數(shù)學系，高等教育出版社，2010
二、 考試形式
試卷滿分： 150分                  考試時間：180分鐘
答題方式：閉卷、筆試
三、 考查范圍：
第一部分    集合與函數(shù)
 
1、 集合
 
實數(shù)集 、有理數(shù)與無理數(shù)的調(diào)密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限復蓋定理。平面上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、平面上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列等。
 
2、函數(shù)
函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理。初等函數(shù)以及與之相關的性質(zhì)。
 
第二部分    極限與連續(xù)
 
數(shù)列極限
數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）
數(shù)列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用。
函數(shù)極限
各種類型的一元函數(shù)極限的定義（ 、 語言 ），函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限： 及其應用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號о與O的意義。多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關系。
函數(shù)的連續(xù)性                                             
函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，一致連續(xù)性概念。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值可達性、介值性、一致連續(xù)性）。
 
第三部分   微分學
 
1、一元函數(shù)微分學
（i）導數(shù)與微分
導數(shù)概念及其幾何意義，可導與連續(xù)的關系，導數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。
（ii）微分學基本定理及其應用
Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理， Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)及應用，函數(shù)單調(diào)性判別法，極值、最值、曲線凹凸性討論。
2、多元函數(shù)微分學
（i）偏導數(shù)與全微分
偏導數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導數(shù)，混合偏導數(shù)與順序無關性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。
(ii) 隱函數(shù)定理與多元微分的應用
隱函數(shù)存在定理的應用，隱函數(shù)組存在定理的應用，隱函數(shù)（組）求導方法，反函數(shù)組與坐標變換。幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。極值問題研究（必要條件與二元極值的充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法的應用。
 
第四部分   積分學
 
一元函數(shù)積分學
(i)不定積分
原函數(shù)與不定積分概念、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法等）。
(ii)定積分
定積分概念與幾何意義 ，可積條件（必要條件、充要條件： ），可積函數(shù)類。定積分性質(zhì)（關于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理）                                                    
變上限積分函數(shù)，微積分基本定理，N-L公式及定積分計算，定積分第二中值定理應用。
(iii)廣義積分
無限區(qū)間上的廣義積分概念、Canchy收斂準則，絕對收斂與條件收斂。 非負時 的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）， Abel判別法，Dirichlet判別法。無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法。
(iv)定積分的應用
微元法思想。幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），其他應用。
 
多元函數(shù)積分學
（i）重積分與含參量積分
二重積分概念及其幾何意義，二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。三重積分概念，三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。重積分的應用（體積、曲面面積、重心、轉動慣量等）。含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。
(ii) 曲線積分與曲面積分
第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算，第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算。Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算。奧高公式、Stoke公式。兩類線積分、兩類面積分之間的關系。
 
第五部分   級數(shù)
 
1、數(shù)項級數(shù)
級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Canchy準則，收斂必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)。正項級數(shù)收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式。交錯級數(shù)的Leibniz判別法。一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性 ，Abel判別法，Dirichlet判別法                            
2、函數(shù)項級數(shù)
函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致性收斂性，Cauchy準則，一致收斂性判別法（M-判別法、Able  Dirichlet判別法）。一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應用。
冪級數(shù)
冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關系。函數(shù)的冪級數(shù)展開。
 
 
 

溫州大學

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