2021年碩士研究生入學考試自命題科目

考試大綱

考試階段：復試 科目滿分值：100

考試科目：實變函數 科目代碼：

考試方式：閉卷筆試 考試時長：180分鐘

一、科目的總體要求

要求考生全面的、系統(tǒng)的、熟悉的掌握實變函數的基本知識和計算方法，掌握勒貝格測度與勒貝格積分。

二、考核內容與考核要求

《實變函數》主要考核5個方面的內容：集合、點集、測度、可測函數、Lebesgue積分。 能熟悉勒貝格積分的應用，了解了貝格積分的創(chuàng)新思想，熟悉掌握勒貝格積分的計算。

（一）集合

內容： 1、集合的概念和運算  2、對等與基數 3、可數集合與不可數集合

要求：學生理解集合的概念和運算；理解對等與基數的概念；理解可數集合與不可數集合的性質；會證明集合性質的常用方法。

（二）點集

內容：1、度量空間和n維歐氏空間 2、內點、聚點和界點  3、開集，閉集和完備集  4、直線上的開集，閉集和完備集的構造

要求：學生理解度量空間和n維歐氏空間的概念；理解內點、聚點和界點的概念，掌握聚點的幾個等價定義；理解導集和閉包的概念；了解外點、孤立點、開核和邊界的定義；理解開集和閉集的概念，理解開集和閉集之間的對偶關系，理解開集和閉集的性質；了解Heine-Borel有限覆蓋定理；了解緊集、自密集和完備集的定義；理解構成區(qū)間與余區(qū)間的概念；會用直線上的開集與閉集的構造定理。

（三）測度

內容:  1、外測度  2、  可測集  3、可測集類

要求: 學生理解外測度與可測集的概念；掌握集合可測的幾個充要條件；理解可測集的性質；了解一些常用的可測集，如零集，開集、閉集、Borel集、型集、型集等；會可測集的一些常用證明方法。

（四）可測函數

內容：1、可測函數及其性質  2、葉果洛夫定理  3、可測函數的構造  4、依測度收斂

要求：理解可測函數的概念，掌握可測函數的幾個等價定義；理解可測函數的性質；了解簡單函數的概念，了解可測函數與簡單函數的關系；理解幾乎處處收斂的概念，會用葉果洛夫定理；會用魯津定理；理解依測度收斂的概念，會用Riese定理。了解勒貝格定理。

  （五）勒貝格積分 

內容：1、勒貝格積分的定義  2、勒貝格積分的性質  3、 一般可

積函數 4、Riemann積分和勒貝格積分的關系  5、積分的極限定理

要求：理解勒貝格積分的概念，理解勒貝格積分的性質；理解一般可積函數的定義及其性質；會用勒貝格控制收斂定理；會用列維定理；會用Fatou引理；以及非負可測函數積分的幾何意義。

  三、題型結構

考試滿分100分，其中選擇題約30分，計算題約30分，證明題約40分。

四、其它要求

具體考試時間以《準考證》為準。

 

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