科目名稱數(shù)學(xué)分析科目代碼

    考試范圍及要點(diǎn)

    本考試大綱適用于報考南通大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生的考生。本科目要求學(xué)生比較系統(tǒng)的理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，掌握基數(shù)學(xué)分析的基本理論，基本思想和方法，具有一定的應(yīng)用微積分的基本理論與方法解決實(shí)際問題的能力，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與科研奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

    本科目的考試范圍及要點(diǎn)：

    一、極限與連續(xù)

    1.實(shí)數(shù)，數(shù)集的確界

    2.函數(shù)的概念，初等函數(shù)

    3.數(shù)列極限與函數(shù)極限

    4.無窮大與無窮小

    5.函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)性

    6.實(shí)數(shù)完備性定理

    要點(diǎn)：1.理解和掌握絕對值不等式，會解絕對值不等式；握函數(shù)的概念和表示方法，會求函數(shù)的定義域和值域，認(rèn)識初等函數(shù)。

    2.理解和掌握數(shù)列與函數(shù)極限的概念，會使用、與語言證明數(shù)列的極限；掌握極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則，并能運(yùn)用它們計算極限；會用單調(diào)有界原理和夾逼法則證明數(shù)列極限的存在，會使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；了解無窮小量和無窮大量的概念性質(zhì)和運(yùn)算法則,會比較無窮小量與無窮大量的階；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。

    3.理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類；能正確敘述并簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。

    4.理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實(shí)數(shù)完備性六大定理的內(nèi)容及其證明思想，了解上、下極限的概念和性質(zhì)，會使用開覆蓋以及區(qū)間套進(jìn)行簡單證明。

    二、一元函數(shù)微分學(xué)

    1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義

    2.求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則

    3.高階導(dǎo)數(shù)

    4.微分

    5.微分中值定理

    6.L’Hospital法則

    7.Taylor公式

    8.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

    要點(diǎn)：1.能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和掌握可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法。

    2.理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠?qū)懗瞿承┖瘮?shù)的泰勒多項(xiàng)式。

    3.理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會使用這些性質(zhì)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及拐點(diǎn)；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等進(jìn)行作圖；能熟練地運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

    三、一元積分學(xué)

    1.不定積分

    2.定積分的概念、性質(zhì)與計算

    3.定積分的應(yīng)用

    4.反常積分

    要點(diǎn)：1.理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關(guān)系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。

    2.理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；能熟練運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

    3.理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分的物理應(yīng)用。

    4.理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準(zhǔn)則，會判斷某些反常積分的斂散性。

    四、級數(shù)

    1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性與性質(zhì)

    2.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與一致收斂性

    3.冪級數(shù)

    要點(diǎn)：1.理解和掌握正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法以及交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項(xiàng)級數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解絕對收斂和條件收斂的概念和性質(zhì)。

    2.理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運(yùn)用M-判別法判斷一些函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。

    3.理解和掌握冪級數(shù)的概念，會求冪級數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，會把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級數(shù)。

    五、多元微分學(xué)

    1.多元函數(shù)的極限

    2.多元函數(shù)的連續(xù)性

    3.偏導(dǎo)數(shù)全微分

    4.隱函數(shù)定理

    5.方向?qū)?shù)與梯度

    6.多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用

    7.多元函數(shù)的極值

    要點(diǎn)：1.理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、累次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會計算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和累次極限；掌握平面點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)與邊界點(diǎn)的概念；認(rèn)識平面上的開集、閉集、有界集與區(qū)域等特殊點(diǎn)集，了解閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    2.理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數(shù)的極值與最值，會用Lagrange乘數(shù)法求條件極值。

    3.了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解Jacobi行列式的性質(zhì)。

    六、多元積分學(xué)

    1.二重積分的概念與性質(zhì)

    2.二重積分的計算

    3.三重積分及其計算

    4.含參變量的正常積分和反常積分

    5.曲線積分與Green公式

    6.曲面積分

    7.Gauss公式與Stokes公式，曲線線積分與路徑無關(guān)

    要點(diǎn)：1.理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點(diǎn)，會選擇最合適的方法進(jìn)行積分；掌握并合理運(yùn)用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)體積元素的推導(dǎo)。

    2.理解和掌握積分號下求導(dǎo)的方法；掌握函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

    3.理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計算；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；會判斷曲線線積分是否與路徑無關(guān)，并能熟練利用曲線線積分與路徑無關(guān)的特征進(jìn)行計算；了解斯托克斯公式，會計算向量場的散度與旋度。

    試題結(jié)構(gòu)：

    試卷分值：150分，其中計算與解答題占70分，證明題占80分

    參考書目名稱編者出版單位版次年份

    數(shù)學(xué)分析（上、下冊）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系高等教育出版社第四版2010

    數(shù)學(xué)分析（上、下冊）陳紀(jì)修高等教育出版社第二版2003

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