2021石家莊鐵道大學數(shù)學分析研究生考試大綱 正文

《數(shù)學分析》考試大綱

一、考試的總體要求
本門課程主要考察學生對數(shù)學分析基礎知識（包括基本概念、基本理論、基本運算及方法）、基本思想和方法的掌握程度。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力以及運用已掌握的知識分析和解決問題的能力。
二、考試的內(nèi)容及比例
1、分析基礎(占15%左右)
(1) 了解實數(shù)公理，理解上確界和下確界的概念及確界原理。掌握絕對值不等式及平均值不等式。
(2)  熟練掌握函數(shù)概念。
(3) 掌握數(shù)列極限的意義、性質和運算法則，熟練掌握用定義證明數(shù)列極限存在的方法。
(4) 掌握函數(shù)極限的意義、性質和運算法則， 熟練掌握求函數(shù)極限的方法。
(5) 熟練掌握求數(shù)列極限和函數(shù)極限的常用方法。
(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮大（?。┝康囊饬x。
(7) 熟練掌握函數(shù)在一點及在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。
(8) 掌握數(shù)列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當自變量趨于有限數(shù)及趨于無窮兩種情形）存在的充分必要條件。
2、 一元微分學(占20%左右)
(1) 掌握導數(shù)的概念和幾何意義，了解單側導數(shù)的意義，依據(jù)定義求函數(shù)在給定點的導數(shù)。
(2) 熟練運用求導公式和求導法則計算函數(shù)導數(shù)（包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導數(shù)）、
復合函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的高階導數(shù)。
(3) 理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分形式不變性，能
用微分作近似計算。
(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），
能應用它們解決函數(shù)零點存在性及不等式證明等問題。
(5) 熟練掌握應用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。
(6) 理解Taylor公式的意義，并熟記五個基本公式（在x=0點的帶有Peano余項的Taylor公式），能將給定函數(shù)在指定點展成Taylor級數(shù)，掌握應用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。
(7) 熟練掌握應用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。了解函數(shù)圖像的畫法。
3、一元積分學(占20%)
(1) 理解不定積分概念和基本性質，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，能夠利用它們熟練計算不復雜的不定積分。
(2) 了解可積分函數(shù)的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。
(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性質，掌握積分中值定理。
(4) 熟練應用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉曲面表面積，并解應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學問題。
(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。
4、級數(shù)(占15%左右)
(1) 掌握數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念、級數(shù)收斂的充分必要條件（Cauchy準則），收斂和絕對收斂級數(shù)的性質以及級數(shù)加法和乘法的運算法則。
(2) 熟練掌握正項級數(shù)斂散判別法（比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項級數(shù)斂散判別方法。能計算一些特殊數(shù)項級數(shù)的和。
(3) 理解函數(shù)項級數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)數(shù)列一致收斂以及函數(shù)項級數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法則（Cauchy一致收斂準則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法）及一致收斂級數(shù)的性質。
(4) 理解冪級數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數(shù)的基本性質和運算法則，熟記五個基本冪級數(shù)展開式（）。能求出給定函數(shù)在指定點的冪級數(shù)展開式及應用冪級數(shù)運算求一些級數(shù)的和。
(5) 理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級數(shù)的收斂性定理、逐項積分和逐項求導定理以及Parseval等式，并能應用Fourier級數(shù)求某些級數(shù)的和。
5、多元微分學(占15%左右)
(1) 理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。
(2) 理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質，并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。
(3) 理解偏導數(shù)的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數(shù)的偏導數(shù)和復合函數(shù)的導函數(shù)，能計算函數(shù)在給定方向上的導函數(shù)。
(4) 理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。
(5) 理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。
(6) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。
(7) 能應用偏導數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。
(8) 理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實際問題。
6、多元積分學(占15%左右)
(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質。
(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法（特別，平面極坐標變換，空間柱坐標和球坐標變換），能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重（n>3）積分的計算方法（化為累次積分及變量代換）。
(3) 了解二重、三重廣義積分的意義（無界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形），掌握它們的基本判斂法和基本計算方法。
(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質（連續(xù)性，積分號下取極限、求導和求積分），了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質（連續(xù)性，積分號下取極限、求導及求積分），掌握其一致收斂判別法，了解和函數(shù)。
(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲線積分。
(6) 理解并掌握Green公式的意義，并能應用它計算曲線積分。
(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲面積分。
(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件及其對曲線積分計算的應用。
(9) 了解場的概念和保守場的意義，能計算場的梯度、散度和旋度。
 

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