中南民族大學2021年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

    科目名稱：數(shù)學分析科目代碼：601

    適用學科（數(shù)學）專業(yè)（應用數(shù)學、運籌學與控制論）

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    一、考試性質(zhì)

    《數(shù)學分析》考試是為中南民族大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院招收數(shù)學學科（含應用數(shù)學、運籌學與控制論兩個專業(yè)）的碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的入學考試科目，其目的是科學、公平、有效地測試考生掌握《數(shù)學分析》中基礎(chǔ)知識、基本理論、基本方法的水平和分析問題、解決問題的能力。評價標準設(shè)置為數(shù)學學科優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達到及格及及格以上水平，有利于中南民族大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院擇優(yōu)選拔，確保碩士研究生的招生質(zhì)量。

    二、考查目標

    要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

    三、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

    1.本試卷滿分為（150）分，考試時間為（3）小時

    2.考試方式為閉卷、筆試。

    3.試卷考查的題型及其比例

    計算題（40%）、研討題(30%)、證明題(30%)

    四、考查內(nèi)容

    第一部分極限和函數(shù)的連續(xù)性一、考試主要內(nèi)容

    映射與函數(shù)；數(shù)列的極限、函數(shù)的極限；連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性；R2中的點集、實數(shù)系的連續(xù)性；函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)。

    二、考試要求

    1.熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無窮小量的概念及基本性質(zhì)。

    2.掌握極限的性質(zhì)及四則運算性質(zhì)，能夠熟練運用兩面夾原理和兩個特殊極限求極限。

    3.掌握實數(shù)系的基本定理：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解相互關(guān)系。

    4.熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點類型。能夠運用函數(shù)連續(xù)的四則運算與復合運算性質(zhì)以及相對應的；并理解兩者的相互關(guān)系。

    5.熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor定理。

    第二部分一元函數(shù)微分學一、考試主要內(nèi)容

    微分的概念、導數(shù)的概念、微分和導數(shù)的意義；求導運算；微分

    運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式公式；導數(shù)的應用。二、考試要求

    1.理解導數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義和物理意義，理解函數(shù)可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

    2.熟練掌握函數(shù)導數(shù)與微分的運算法則，包括高階導數(shù)的運算法則、復合函數(shù)求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù)。

    3.熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。

    4.能夠用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凸凹性。

    5.掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。第三部分一元函數(shù)積分學

    一、考試主要內(nèi)容

    定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。

    二、考試要求

    1.理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。

    2.掌握定積分的概念，包括Darboux和，上、下積分及可積條件與可積函數(shù)類。

    3.掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。

    4.能用定積分表達和計算如下幾何量與物理量：平面圖形的面

    積，平面曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質(zhì)量與質(zhì)心。

    5.理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法；其中包括積分第二中值定理。第四部分無窮級數(shù)

    一、考試主要內(nèi)容

    數(shù)項級數(shù)的概念、數(shù)項級數(shù)斂散的判別法；級數(shù)的絕對收斂和條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂和一致收斂及其性質(zhì)、收斂性的判別；冪級數(shù)及其性質(zhì)、泰勒級數(shù)和泰勒展開。

    二、考試要求

    1.理解數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)。

    2.熟練掌握正項級數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D‘Alembert判別法與積分判別法。

    3.熟練掌握任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯級數(shù)的Leibnitz判別法。掌握絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。

    4.熟練掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法。Abel判別法、Cauchy判別法和Dirichlet判別法。

    5.掌握冪級數(shù)及其收斂半徑的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。

    6.熟練掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級數(shù)，理解余項公示。

    第五部分多元函數(shù)微分學與積分學一、考試主要內(nèi)容

    多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分和偏導數(shù)的概念、重積分的概念及其性質(zhì)、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。

    二、考試要求

    1.理解多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導數(shù)和全微分的概念，會求多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分。

    2.掌握隱函數(shù)存在定理。

    3.熟練掌握求多元函數(shù)極值和無條件極值，了解偏導數(shù)的幾何應用。

    4.熟練掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算。

    5.熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應用。第六部分含參變量積分

    一、考試主要內(nèi)容

    含參變量積分的概念、性質(zhì)，計算。二、考試要求

    1.了解含參變量常義積分的概念與性質(zhì)。

    2.熟練掌握變上限和變下限積分分析性質(zhì)。五、參考書目

    1.華東師范大學數(shù)學系編：《數(shù)學分析》上、下冊，高等教育出版社，2010年7月，第四版。

    六、特殊說明

    本自命題考試科目無需計算器。

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